Quadratische Funktionen

Quadratische Funktionen besitzen immer die Form f(x)= ax²+bx+c, wobei a nicht Null sein darf. Der Graph von quadratischen Funktionen ist eine Parabel, welche die Form y= ax² + bx +c hat. Wäre a in dem Fall Null, so würde eine lineare Funktion vorliegen. Anhand von a, b und c werden der Wertebereich und die Form des Funktionsgraphen bestimmt.

Die Bedeutung von a, b und c in quadratischen Funktionen

Will man wissen, wie a die Form des Funktionsgraphen beeinflusst, so setzt man b und c der quadratischen Funktion gleich Null. Bei der Normalparabel, die daraus entsteht, ergibt sich aus dem a im ax² der quadratischen Funktion ein Faktor. Ist dieser größer als Null, so hat man einen nach oben geöffneten Funktionsgraphen der quadratischen Funktion. Ist a kleiner als Null, entsteht ein nach unten geöffneter Funktionsgraph der quadratischen Funktion. Ist der Betrag von a, also -a, kleiner als Eins, so ist der Funktionsgraph der quadratischen Funktion in seiner Länge zusammengedrückt und somit flacher und breiter. Ist der Betrag von a größer als Eins, liegt ein gestreckter Funktionsgraph der quadratischen Funktion vor, also steiler und schmaler. Beträgt a gleich -1, so spiegelt sich der Funktionsgraph an der x-Achse des Koordinatensystems, in welches man die Funktionsgraphen einzeichnet.

Verändert man b, so entsteht eine Verschiebung des Funktionsgraphen der quadratischen Funktion in x- und y-Richtung des Koordinatensystems. An b lässt sich auch ablesen, in welcher Steigung der Funktionsgraph der quadratischen Funktion die y-Achse schneidet.

Verändert man c, so entsteht eine Verschiebung des Funktionsgraphen der quadratischen Funktion in y-Richtung. Wenn man c erhöht, verschiebt sich der Funktionsgraph nach oben. Verringert man c, so verschiebt sich der Funktionsgraph nach unten. Auch lineare Funktionen lassen sich berechnen.

Wie und was kann man mit quadratischen Funktionen berechnen?

Bestimmung der Scheitelpunkte

Der Scheitelpunkt der quadratischen Funktion bestimmt die Lage der Parabel, also des Funktionsgraphen der quadratischen Funktion. Sofern a positiv ist, bestimmt der Scheitelpunkt das absolute Minimum des Funktionsgraphen. Ist a negativ, bestimmt der Scheitelpunkt das absolute Maximum des Funktionsgraphen. Bringt man die Funktionsgleichung der quadratischen Funktion in die Scheitelpunktform f(x) = =a .(x-x_s )^2+ y_s, kann man die Scheitelpunkte der quadratischen Funktion unmittelbar ablesen. Die Koordinaten des Scheitelpunktes sind dann S (x_s/y_s). Zieht man durch x_s eine Parallele zur y-Achse, so ist der Funktionsgraph der quadratischen Funktion achsensymmetrisch.

Bestimmung der Nullstellen von quadratischen Funktionen

Um die Nullstellen der quadratischen Funktion zu berechnen, muss man die quadratische Gleichung gleich Null setzen: ax² + bx + c = 0.

Wozu braucht man quadratische Funktionen im Alltag?

Das Lösen von quadratischen Gleichungen wird in vielen Bereichen des täglichen Lebens gebraucht. So benutzen beispielsweise Architekten quadratische Gleichungen zum Bauen einer Brücke. Außerdem sind quadratische Gleichungen hilfreich, wenn man eine Fläche umzäunen möchte und dabei den größtmöglichen Flächeninhalt ausnutzen will. Auch in anderen technisch und wissenschaftlich orientierten Berufen spielen quadratische Gleichungen eine wichtige Rolle. Man findet außerdem viele Parabeln im Alltag, beispielsweise Satellitenantennen oder Flugbahnen von Gegenständen, die man in die Höhe wirft. Daneben gibt es noch lineare Funktionen.

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